Une étude de fonction

On considère la fonction `f`  définie et dérivable sur `\mathbb{R}`  par  \(f(x) = (ax + b)\text e^{-0,1x}\)  où `a`  et `b`  sont des réels fixés.

La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\)  de la fonction `f`  est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

On a également représenté la tangente \(\mathcal{T}\)  à \(\mathcal{C}_f\)  au point \(\text A(0~;~5)\) .
On admet que cette tangente \(\mathcal{T}\)  passe par le point \(\text B(4~;~19)\) .

1. En exprimant \(f(0)\) , déterminer la valeur de \(b\) .

2. a. À l’aide des coordonnées des points \(\text A\)  et \(\text B\) , déterminer une équation de la droite  \(\mathcal{T}\) .
    b. Exprimer, pour tout réel \(x\) , \(f'(x)\)  en fonction de \(x\)  et de \(a\)  et en déduire que, pour tout réel \(x\) , \(f(x)=(4x+5)\text e^{-0,1x}\) .

3. On souhaite déterminer le maximum de la fonction \(f\)  sur \(\mathbb{R}\) .
    a. Montrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\) , \(f'(x)=(- 0,4x + 3,5)\text e^{-0,1x}\) .
    b. Déterminer les variations de \(f\)  sur \(\mathbb{R}\)  et en déduire le maximum de \(f\)  sur \(\mathbb{R}\) .